相対論ノート#13：テンソルの縮約と普遍性

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は、「スカラー、ベクトル、テンソル」の定義と変換則について解説しました。今回は、テンソルが持つ非常に重要な二つの性質、「縮約」と「普遍性」について掘り下げていきましょう。

テンソルの縮約（Contraction）
テンソルの普遍性（Universality）
テンソル積（Tensor Product）
1. 参考文献

テンソルの縮約（Contraction）

テンソルの「縮約」とは、上付き添え字と下付き添え字が同じものをペアにして和を取る操作のことです。これは、前回解説した「アインシュタインの縮約規則」の具体的な適用例です。この操作を行うと、テンソルの階数（添え字の数）が2つ減ります。

この規則の鍵となるのが「ダミー添え字」です。上付きと下付きで同じ添え字がペアになった場合、その添え字は計算上「消去」されます。これは、その添え字が特定の次元（例えば、$x$方向や$y$方向など）を指すのではなく、それらすべての次元にわたる和を取るための「一時的な記号」として機能するからです。この操作によって、もともとあった2つの添え字（上付き1つ、下付き1つ）がなくなるため、テンソルの階数は2つ下がるのです。

$$A^{\mu\nu} B_{\nu\rho} \rightarrow A^{\mu\nu} B_{\nu\rho} = \sum_{\nu} A^{\mu\nu} B_{\nu\rho}$$

例えば、2階の反変テンソル$T^{\mu\nu}$と、2階の共変テンソル$S_{\mu\nu}$を縮約すると、$T^{\mu\nu}S_{\mu\nu}$は添え字を持たないスカラー（0階のテンソル）となります。これは、「内積」を一般化したものと考えることができます。

テンソルの普遍性（Universality）

テンソルが物理学で非常に重要なのは、その「普遍性」にあります。

これは、「テンソル方程式は、ある座標系で成り立てば、すべての座標系で成り立つ」という性質です。この性質は、物理法則を座標系によらない普遍的な形で記述する「一般相対性原理」を数学的に表現する上で不可欠です。

例えば、運動方程式$F=ma$をテンソルで表現したとします。この式が、ある慣性系で成り立っている場合、どんな加速系や回転系で観測しても、その方程式の形式は変化しません。なぜなら、方程式の両辺が同じ変換則に従うテンソル（同じ階数、同じ添え字の配置）で構成されているからです。

$$T^{\mu\nu} = (\rho c^2 + P) U^\mu U^\nu + P \eta^{\mu\nu}$$

この普遍性の性質によって、私たちは複雑な座標変換をいちいち行うことなく、どの座標系でも成り立つ物理法則を一度に記述できるのです。

テンソル積（Tensor Product）

テンソルの概念をより深く理解するために、「テンソル積」についても触れておきます。テンソル積とは、2つのテンソルを掛け合わせて、より高階のテンソルを作り出す操作です。例えば、ベクトル$A^\mu$とベクトル$B^\nu$のテンソル積は、2階のテンソル$C^{\mu\nu} = A^\mu B^\nu$を生成します。この操作は、様々な物理量を組み合わせる際に用いられます。

補足として、テンソルを理解する上で欠かせないもう一つの概念が「双対性（Duality）」です。これは、反変ベクトルと共変ベクトルが、互いに「双対な関係」にあることを指します。この二つの種類のベクトルは、計量テンソルを介して互いに変換することができます。

具体的には、共変ベクトルに計量テンソルを掛けることで反変ベクトルに、またその逆の操作を行うことで、それぞれの成分を変換することができます。これは、物理量を記述する際に、どのような座標系で表現しても本質的な関係が保たれることを保証する、非常に強力な仕組みです。

次回のノートでは、これらの数学的ツールをさらに発展させ、「測地線」と「クリストッフェル記号」について纏めていきます。