相対論ノート#27：リッチテンソルとアインシュタインテンソルの導出

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は、「リーマン曲率テンソル」が持つ重要な対称性について見ました。これらの対称性によって、独立な成分の数が20個にまで減ることがわかりました。

今回は、そのリーマン曲率テンソルを縮約して、アインシュタイン方程式の左辺を構成する「リッチテンソル」と「アインシュタインテンソル」を導出していきましょう。

リッチテンソル（Ricci Tensor）の導出
リッチスカラー（Ricci Scalar）の導出
アインシュタインテンソル（Einstein Tensor）の導出
まとめ
1. 参考文献

リッチテンソル（Ricci Tensor）の導出

リーマン曲率テンソル$R^\lambda_{\rho\mu\nu}$は4階のテンソルであり、その成分は時空の局所的な曲がりを記述します。しかし、アインシュタイン方程式を記述するためには、より単純な2階のテンソルが必要です。そこで、リーマン曲率テンソルの添え字を縮約する「縮約（Contraction）」という操作を行います。

リーマン曲率テンソルの上付き添え字$\lambda$と、下付き添え字の2番目$\mu$を縮約することで、「リッチテンソル」$R_{\rho\nu}$を導出します。

$$R_{\rho\nu} \equiv R^\lambda_{\rho\lambda\nu} = \partial_\lambda \Gamma^\lambda_{\nu\rho} – \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\lambda\rho} + \Gamma^\sigma_{\lambda\rho} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} – \Gamma^\sigma_{\nu\rho} \Gamma^\lambda_{\lambda\sigma}$$

このリッチテンソルは、時空の体積変化や測地線の収束・発散の度合いを表す重要な物理的意味を持っています。平坦な時空では、リッチテンソルはゼロになります。

リッチスカラー（Ricci Scalar）の導出

リッチテンソルをさらに縮約すると、時空の全体的な曲がり具合を表す「リッチスカラー」$R$が得られます。これは、リッチテンソルに計量テンソルの逆行列$g^{\rho\nu}$を掛け合わせて導出されます。

$$R \equiv g^{\rho\nu} R_{\rho\nu}$$

このリッチスカラーも、平坦な時空ではゼロとなります。

アインシュタインテンソル（Einstein Tensor）の導出

アインシュタイン方程式は、左辺が時空の幾何学、右辺が物質・エネルギーの分布を表す方程式でした。ここで、物理法則であるエネルギー運動量保存則を考慮すると、方程式の左辺も同様に共変微分の発散がゼロになる必要があります。この性質を満たすように、リッチテンソルとリッチスカラーを組み合わせることで、「アインシュタインテンソル」$G_{\mu\nu}$を導出します。

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} – \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$$

この組み合わせが、アインシュタイン方程式の左辺に他なりません。この天才的なアイデアによって、時空の幾何学と物質・エネルギーの分布を物理的に整合性のある形で結びつけることが可能になりました。