相対論ノート#19：等価原理とアフィン接続係数

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は、「アフィン接続係数」の定義と、その座標変換則について詳しく見ていきました。今回は、そのアフィン接続係数と深く関わる、アインシュタインが一般相対性理論を構築する上で出発点となった重要な物理原理、「等価原理」について解説します。

等価原理（Equivalence Principle）とは
アフィン接続係数と等価原理のつながり
1. 参考文献

等価原理（Equivalence Principle）とは

等価原理は、以下のような単純な考えに基づいています。

重力の影響下での運動と、加速する非慣性系における運動は、区別できない。

この原理を理解するために、有名な「アインシュタインのエレベーター」の思考実験を考えてみましょう。あなたは、外界が見えない閉ざされたエレベーターの中にいます。

ケース1：地球上に静止しているエレベーター。あなたは床に立ち、体重計の針はあなたの体重を示します。これは、地球の重力によって床に押しつけられているからです。
ケース2：宇宙空間でロケットによって加速しているエレベーター。ロケットが上向きに加速していると、あなたは床に押しつけられるのを感じます。体重計の針は、地球上にいる時と同じ値を示します。

この2つの状況は、エレベーターの内部にいる限り、あなたがどんな物理実験をしても、区別することができません。これが「弱い等価原理」です。さらに、アインシュタインはこれを拡張し、重力と加速度の局所的な等価性を主張しました。これが「強い等価原理」です。

アフィン接続係数と等価原理のつながり

等価原理を数学的に表現する上で、「アフィン接続係数」が鍵となります。等価原理によれば、任意の点において、局所的に重力を消去するような座標系（局所慣性系）を見つけることができるはずです。

この局所慣性系では、重力の影響がないため、自由落下する物体は「慣性の法則」に従って真っ直ぐ進みます。この座標系では、クリストッフェル記号はすべてゼロになります。なぜなら、前回解説したように、クリストッフェル記号は「座標系の歪み」を表すからです。重力を消去した系では、座標系は局所的に平坦となり、クリストッフェル記号はゼロになるのです。

このことは、前回導出したアフィン接続係数の座標変換則から数学的に確認することができます。座標変換則の式には、座標の二階微分が含まれていました。この第二項を適切に選ぶことで、新しい座標系$x’^\mu$において、クリストッフェル記号$\Gamma’^\lambda_{\mu\nu}$をゼロにすることができるのです。

$$\Gamma’^\lambda_{\mu\nu} = \frac{\partial x’^\lambda}{\partial x^\rho} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x’^\mu} \frac{\partial x^\tau}{\partial x’^\nu} \Gamma^\rho_{\sigma\tau} + \frac{\partial x’^\lambda}{\partial x^\rho} \frac{\partial^2 x^\rho}{\partial x’^\mu \partial x’^\nu} = 0$$

この式を満たすような座標変換$x’^\mu = x’^\mu(x^\rho)$が存在することが、数学的に等価原理を保証する基盤となります。そして、この局所慣性系における「真っ直ぐな道」が、測地線に他なりません。

次回のノートでは、これらの概念をさらに発展させ、「ベクトルの平行移動」と「共変微分」について、より深く掘り下げていきます。