相対論ノート#18：アフィン接続係数と座標変換則

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は、一般相対性理論の中心的な方程式である「アインシュタイン方程式」へとたどり着きました。

今回は、その方程式を理解する上で不可欠な数学的ツールである「アフィン接続係数」と、その座標変換則について掘り下げていきます。この概念は、これまで見てきた「テンソル」とは少し異なる振る舞いをします。

アフィン接続係数（Affinity Connection Coefficient）とは
アフィン接続係数の座標変換則の導出
導出結果の物理的意味
1. 参考文献

アフィン接続係数（Affinity Connection Coefficient）とは

これまでのノートで、私たちは「共変微分」の概念を導入しました。

共変微分は、曲がった空間におけるベクトルの微分を定義するためのものでした。この共変微分を行う際、クリストッフェル記号が補正項として現れました。このクリストッフェル記号こそが、計量テンソルから導出される特別なアフィン接続係数なのです。

アフィン接続係数は、時空上の2つの異なる点にあるベクトルの「方向」を比較するためのルール、すなわち「平行移動」のルールを定義します。

平坦な空間では、ベクトルをそのまま平行に移動させればよいですが、曲がった空間では、どの方向が「真っ直ぐ」なのかが自明ではありません。この「真っ直ぐ」の定義を与えるのがアフィン接続係数です。

$$\nabla_{\mu} V^\nu = \partial_{\mu} V^\nu + \Gamma^{\nu}_{\mu\lambda} V^\lambda$$

この共変微分の式を見ると、アフィン接続係数$\Gamma^{\nu}_{\mu\lambda}$は、通常の微分$\partial_{\mu}$では捉えきれない、基底ベクトルの変化を補正する役割を担っていることがわかります。

アフィン接続係数の座標変換則の導出

ここで、アフィン接続係数がなぜテンソルではないのかを、その座標変換則を導出することで確認してみましょう。まず、新しい座標系$x’^\mu$と古い座標系$x^\mu$の関係から始めます。

基底ベクトルの変換則は、以下のように書くことができます。

$$e’_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x’^\mu} e_\nu$$

ここで、$e_\mu$は古い座標系の基底ベクトル、$e’_\mu$は新しい座標系の基底ベクトルです。次に、この新しい基底ベクトルを通常の微分で微分してみましょう。

$$\frac{\partial e’_\mu}{\partial x’^\nu} = \frac{\partial}{\partial x’^\nu} \left( \frac{\partial x^\rho}{\partial x’^\mu} e_\rho \right)$$

右辺の微分には積の微分法を適用します。また、偏微分を連鎖律を使って古い座標系での微分に書き換えます。

$$\frac{\partial e’_\mu}{\partial x’^\nu} = \frac{\partial x^\sigma}{\partial x’^\nu} \frac{\partial}{\partial x^\sigma} \left( \frac{\partial x^\rho}{\partial x’^\mu} e_\rho \right)$$

積の微分法を適用すると、

$$\frac{\partial e’_\mu}{\partial x’^\nu} = \frac{\partial x^\sigma}{\partial x’^\nu} \left( \frac{\partial^2 x^\rho}{\partial x^\sigma \partial x’^\mu} e_\rho + \frac{\partial x^\rho}{\partial x’^\mu} \frac{\partial e_\rho}{\partial x^\sigma} \right)$$

ここで、アフィン接続係数の定義$\frac{\partial e_\rho}{\partial x^\sigma} = \Gamma^\lambda_{\rho\sigma} e_\lambda$を代入します。

さらに、新しい座標系での基底ベクトルの微分もアフィン接続係数で書くことができます。$\frac{\partial e’_\mu}{\partial x’^\nu} = \Gamma’^\lambda_{\mu\nu} e’_\lambda$ です。この式に、$e’_\lambda = \frac{\partial x^\tau}{\partial x’^\lambda} e_\tau$を代入すると、

$$\frac{\partial e’_\mu}{\partial x’^\nu} = \Gamma’^\lambda_{\mu\nu} \frac{\partial x^\tau}{\partial x’^\lambda} e_\tau$$

最初の式とこの式を比較し、係数を揃えるために添え字を整理すると、最終的な変換則が得られます。

$$\Gamma’^\lambda_{\mu\nu} = \frac{\partial x’^\lambda}{\partial x^\rho} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x’^\mu} \frac{\partial x^\tau}{\partial x’^\nu} \Gamma^\rho_{\sigma\tau} + \frac{\partial x’^\lambda}{\partial x^\rho} \frac{\partial^2 x^\rho}{\partial x’^\mu \partial x’^\nu}$$