相対論ノート#9：エネルギー運動量テンソル

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は「保存カレント」と「保存チャージ」について解説しました。今回は、これらの概念をさらに発展させ、物理学における重要な概念である「エネルギー運動量テンソル」について解説していきます。

テンソルとは
エネルギー運動量テンソルの導入
完全流体のエネルギー運動量テンソル
1. 参考文献

テンソルとは

まず、「テンソル」とは、複数の添え字を持つ量のことです。物理学の法則を任意の座標系で記述するために用いられる、非常に重要な数学的対象です。例えば、$T_{\mu\nu}$のように、複数の添え字を持つ量として表現されます。

（テンソルといえば個人的には、”ある量から別の量への変換則”のイメージがあります…）

エネルギー運動量テンソルの導入

前回扱った「4元運動量」は、エネルギーや運動量といった保存量をひとまとめにしたものでした。この4元運動量に対応する保存カレントを「エネルギー運動量テンソル」と呼びます。このテンソルは、4次元の意味での発散（ダイバージェンス）がゼロになるという保存則を満たします。

$$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$

エネルギー運動量テンソル $T^{\mu\nu}$ の各成分は、4元運動量の流れ（フラックス）を表します。具体的には、次のようになります。

$$T^{\mu\nu} = \left( \begin{array}{cccc} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{array} \right)$$

$T^{00}$ はエネルギー密度を表します。
$T^{0i}$はエネルギーフラックス（空間成分へのエネルギーの流れ）を表します。
$T^{i0}$ は運動量密度を表します。
$T^{ij}$ は運動量フラックス（空間成分への運動量の流れ）を表し、これは応力テンソルとも呼ばれます。

完全流体のエネルギー運動量テンソル

粘性や熱伝導がない「完全流体」の場合を考えると、そのエネルギー運動量テンソルは比較的単純な形になります。このテンソルは、流体の静止系では以下の形で書くことができます。

$$T^{\mu\nu} = (\rho c^2 + P) U^\mu U^\nu + P \eta^{\mu\nu}$$

ここで、$\rho$ は質量密度、$P$ は圧力、$U^\mu$ は4元速度、$\eta^{\mu\nu}$ はミンコフスキー計量テンソルです。流体が静止している座標系では、4元速度は$U^\mu = (c, 0, 0, 0)$となり、ミンコフスキー計量は対角成分が$(-1, 1, 1, 1)$の行列となります。これらを代入して各成分を計算すると、以下のようになります。

$$T^{00} = (\rho c^2 + P) (c)(c) + P(-1) = \rho c^2 c^2 + Pc^2 – P = \rho c^2$$

$$T^{11} = (\rho c^2 + P) (0)(0) + P(1) = P$$

$$T^{22} = P$$

$$T^{33} = P$$

それ以外の非対角成分はゼロとなります。したがって、完全流体の静止系におけるエネルギー運動量テンソルは、次のような行列で表すことができます。

$$T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix}$$

このテンソルは、一般的に対称性を満たします。

次回のノートでは、これらの概念をさらに発展させ、「等価原理」と「一般相対性原理」について纏めていきます。