相対論ノート#7：4元速度と4元運動量

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は「双子のパラドックス」と「ローレンツ収縮」について解説しました。

今回は、特殊相対性理論の概念をさらに深めるために、「4元速度」と「4元運動量」について掘り下げていきたいと思います。

4元速度 (Four-velocity)
4元運動量 (Four-momentum)
1. 参考文献
2. これまでの相対論ノート一覧

4元速度 (Four-velocity)

4元速度とは、粒子の固有時間あたりの座標変化として定義される概念です。これは直感的には、「自分自身が持っている時計が1秒進んだ時に、外の空間の座標がどれだけ変化するか」と考えることができます。

4元速度は、普通の3次元空間の速度のように4つの成分からなるベクトルで、以下のように定義されます。

$$V^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$$

ここで、$x^\mu$は4次元時空の座標（$x^0 = ct, x^1 = x, x^2 = y, x^3 = z$）であり、$\tau$は固有時間です。この定義から、4元速度の各成分は以下のように計算できます。

$$V^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{c \, dt}{d\tau}$$

$$V^i = \frac{dx^i}{d\tau} = \frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} = \frac{dt}{d\tau} v^i$$

ただし、$v^i = dx^i/dt$は通常の3次元速度の成分です。ここで、時間の遅れの関係式$dt = \gamma d\tau$を用いると、

$$V^0 = \frac{c \, \gamma d\tau}{d\tau} = c\gamma$$

$$V^i = \frac{\gamma d\tau}{d\tau} v^i = \gamma v^i$$

となります。したがって、4元速度は$V^\mu = (\gamma c, \gamma v^1, \gamma v^2, \gamma v^3)$と表せます。この式から、3次元速度がゼロ（静止）であっても、4元速度のゼロ成分$V^0$はゼロにはならないことがわかります。これは、物体が静止していても時間が経過することを意味しています。

4元運動量 (Four-momentum)

4元運動量は、質量に4元速度を掛けることで定義されます 。これは、ニュートン力学における運動量の概念を相対性理論に拡張したものです。

$$P^\mu = m V^\mu$$

これを4元速度の成分を用いて書き直すと、

$$P^\mu = m(\gamma c, \gamma v^1, \gamma v^2, \gamma v^3) = (\gamma mc, \gamma mv^1, \gamma mv^2, \gamma mv^3)$$

となります。ここで、各成分について見ていきましょう。

- 空間成分（$P^i$）：$P^i = \gamma mv^i$は、通常の運動量に$\gamma$を掛けたものです。速度$v$が光速よりも十分に小さい場合、$\gamma \approx 1$となり、ニュートン力学の運動量$mv$に一致します。
- 時間成分（$P^0$）：$P^0 = \gamma mc$は、光速$c$を掛けることで、相対論的なエネルギーとして解釈できます。

特に、物体が静止している場合（$v=0$）、$\gamma=1$となり、$P^0 = mc$となります。この時間成分に$c$を掛けると、有名な「静止エネルギーの式」である$E = mc^2$が得られます。これは、物体が静止していてもエネルギーを持つことを示しています。

次回のノートでは、これらの概念をさらに発展させ、「保存カレント」と「保存チャージ」についてまとめていきます。