相対論ノート#4：ミンコフスキー時空

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は特殊相対性理論の基盤となる「ローレンツ変換」について、その導出過程を解説しました。今回は、ローレンツ変換の背後にある、時間と空間を統合した概念である「ミンコフスキー時空」について詳しく見ていきたいと思います。

ミンコフスキー時空は、4次元の平坦な時空を指し、この時空の概念を理解することで、なぜローレンツ変換が成り立つのか、そして特殊相対性理論が示す様々な現象が、幾何学的な視点からどのように解釈できるのかが見えてきます。

4次元時空と計量（ds²）
ds²の値による点の分類
1. 参考文献

4次元時空と計量（ds²）

ミンコフスキー時空を定義する上で鍵となるのが、「計量（ds²）」という概念です。これは、微小に離れた二つの点間の距離の2乗を定義するものです。通常の3次元空間では、距離の2乗は$dx^2 + dy^2 + dz^2$で表されますが、4次元時空では、これに時間項である$-c^2dt^2$が加わります。

$ds^2=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

この計量$ds^2$が持つ最も重要な性質は、「ローレンツ変換」に対して不変であることです。

つまり、どの慣性系から観測しても、この$ds^2$の値は変わらないのです。この$ds^2$を不変にするような、すべての座標変換を、今後はローレンツ変換と呼びます。そして、この$ds^2$を持つ平坦な4次元時空を「ミンコフスキー時空」と呼ぶのです。

ds²の値による点の分類

ミンコフスキー時空では、$ds^2$の値によって二点間の関係性を3つのタイプに分類できます。

- 時間的 (ds² < 0)：二つの点は時間的に離れており、光速よりも遅い速度で移動することで到達可能です。
- 光的 (ds² = 0)：二つの点は光速で移動した場合にたどり着く関係にあり、「光的」に離れていると定義されます。
- 空間的 (ds² > 0)：二つの点は空間的に離れており、光速を超える速度でなければ到達できません。