相対論ノート【補足】重力による時間の遅れと重力赤方偏移

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

今回は、シュワルツシルト解が持つ最も重要な物理的帰結である、「重力による時間の遅れ」と「重力赤方偏移」について、補足的な解説を加えていきます。この2つの現象は、一般相対性理論が実際に正しいことを示す重要な証拠となります。

重力による時間の遅れ（Gravitational Time Dilation）
重力赤方偏移（Gravitational Redshift）
まとめ
1. 参考文献
2. これまでの相対論ノート一覧

重力による時間の遅れ（Gravitational Time Dilation）

一般相対性理論では、質量（重力）が存在すると時空が歪み、その結果、時間の進み方が変化します。この現象は、「重力による時間の遅れ」として知られています。この効果は、シュワルツシルト解の線素（計量）から直接読み取ることができます。

$$ds^2 = -\left(1 – \frac{2GM}{rc^2}\right)c^2dt^2 + …$$

この式の時間成分に注目すると、重力源の中心からの距離$r$が小さいほど、つまり重力が強い場所ほど、座標時間$dt$に対する固有時間$d\tau$（静止している観測者の時計が刻む時間）の進みが遅くなることがわかります。具体的には、静止している観測者にとっての固有時間と座標時間の間には、以下の関係が成り立ちます。

$$d\tau = \sqrt{1 – \frac{2GM}{rc^2}} dt = \sqrt{1 – \frac{r_g}{r}} dt$$

この式は、地球上でもわずかながら測定されており、GPS衛星の時計を正確に同期させるために考慮されるほど重要な効果です。

重力赤方偏移（Gravitational Redshift）

重力赤方偏移とは、重力が強い場所から弱い場所へ光が移動する際に、その光の振動数が低く（波長が長く）なる現象です。これは、光が重力場を「登る」ためにエネルギーを失うためと考えることができます。

この現象も、重力による時間の遅れと密接に関連しています。重力が強い場所（例えば、星の表面）にいる観測者が発した光の振動数は、遠方にいる観測者から見ると、重力による時間の遅れのために低く観測されます。光の振動数$\nu$と波長$\lambda$の関係$(\nu = c/\lambda)$から、振動数が低くなるということは波長が長くなることを意味し、これがスペクトルが赤い方へずれる「赤方偏移」として観測されます。

特に、光がブラックホールの事象の地平線に近づくにつれて、時間の遅れが無限大になるため、遠方の観測者からはその光の振動数がゼロに近づき、もはや観測できなくなります。これは、光が事象の地平線から脱出できないというブラックホールの性質を、時間の遅れという観点から説明するものです。