相対論ノート【補足】弱い重力場中の粒子の運動

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

今回は、これまでのノートで触れてきた内容について、補足的な解説を加えていきます。第二回目として、一般相対性理論の重要な概念である「重力場」と「ニュートン力学」の関係を明らかにするために、弱い重力場中の粒子の運動を考察していきます。

弱い重力場における仮定

重力場が弱い場合、私たちはアインシュタイン方程式を近似して解くことができます。この近似を行うために、以下の4つの仮定を置きます。

ミンコフスキー空間からのずれが小さい: 重力が弱いため、計量テンソル$g_{\mu\nu}$は、平坦なミンコフスキー計量$\eta_{\mu\nu}$に比べて非常に小さな量$h_{\mu\nu}$だけずれていると仮定します。$g_{\mu\nu} \approx \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$
計量が時間に依存しない: 重力源が静止していると仮定し、計量テンソルが時間$t$によって変化しないとします。
時空が時間反転に対して対称である: 時間の符号を反転させても、計量テンソルの成分が変わらないと仮定します。
粒子の速さが光速より十分小さい:*粒子が光速に比べて非常に遅い（非相対論的な）速度で運動すると仮定します。

これらの仮定のもとで、自由粒子の運動を記述する「測地線方程式」$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\rho}{d\tau} = 0$を考えます。

方程式に含まれる「クリストッフェル記号」は、計量テンソルの微分から構成されており、弱い重力場では、重力場を表す小さな量として扱えます。

この測地線方程式に上記の仮定を適用し、粒子の空間成分の運動方程式に注目します。すると、非相対論的な極限では、以下の簡単な形に整理できることがわかります。

$$\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} \approx -c^2 \nabla h_{00}$$

ここで、$h_{00}$は計量テンソルの成分$g_{00}$のずれの量です。

この結果を、ニュートン力学における粒子の運動方程式と比較してみましょう。ニュートン力学では、重力ポテンシャル$\Phi$のもとでの粒子の運動は、$\frac{d^2\vec{x}}{dt^2} = -\nabla\Phi$で与えられます。

この二つの式を見比べると、一般相対性理論における計量テンソルの成分$h_{00}$が、ニュートン力学の重力ポテンシャルと関連付けられることがわかります。

$$h_{00} = \frac{2\Phi}{c^2}$$

この関係式は、一般相対性理論が、重力が弱い極限ではニュートン力学を正確に再現することを示しています。この事実は、「時空の曲がりが重力場そのものである」というアインシュタインの基本的な考え方の正しさを裏付ける、非常に重要な結果です。

今回は、アインシュタイン方程式の近似解法として、弱い重力場中の粒子の運動を考察しました。

測地線方程式を非相対論的な極限で近似することで、一般相対性理論がニュートン力学の重力を再現できることを示しました。これにより、時空の幾何学が、日常的な重力現象を記述する上でいかに重要な役割を果たすかが理解できたと思います。

次回のノートでは、シュワルツシルト解の最も重要な帰結である「重力による時間の遅れと重力赤方偏移」について、補足解説していきます。どうぞお楽しみに！

記事を書くときに、部分的に参照したので載せておきます。