相対論ノート#21：共変微分 - あつまれ！ゆい日記

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は、曲がった空間における物理量を扱う上で不可欠な「平行移動」の概念について見てきました。今回は、その平行移動の考え方を発展させ、「共変微分」の概念をより深く掘り下げていきます。

共変微分（Covariant Derivative）とは
共変微分の導出
様々なテンソルの共変微分
1. 参考文献
2. これまでの相対論ノート一覧

共変微分（Covariant Derivative）とは

平坦な空間では、ベクトルの微分は単純に行うことができます。しかし、曲がった時空では、単純な微分では不十分です。なぜなら、通常の微分は、ベクトル自身の変化だけでなく、座標系の歪みによって生じる基底ベクトルの向きの変化まで含んでしまうからです。共変微分は、この「見かけ上の変化」を補正し、ベクトル自身の純粋な変化（真の微分）を抽出するための操作です。

共変微分の導出

ベクトル$V^\mu$の共変微分を、平行移動の考え方から導出してみましょう。まず、位置$x^\nu$にあるベクトル$V^\mu(x)$を考えます。このベクトルを、微小な距離$dx^\nu$だけ離れた位置$x^\nu + dx^\nu$に移動させます。移動後のベクトルは$V^\mu(x+dx)$となります。

ここで、もしベクトルが平行移動していると仮定した場合、そのベクトルを$V^\mu_{parallel}(x+dx)$と書くことにします。平行移動の定義より、このベクトルの変化はゼロ、つまり$V^\mu_{parallel}(x+dx) – V^\mu(x) = 0$となります。

しかし、実際のベクトル$V^\mu(x+dx)$は、必ずしも平行移動しているとは限りません。共変微分は、この「実際のベクトルの変化」と「平行移動による変化」の差分として定義されます。

$$(\text{共変微分}) = \frac{V^\mu(x+dx) – V^\mu_{parallel}(x+dx)}{dx^\nu}$$

ここで、$V^\mu(x+dx)$はテイラー展開で近似することができます。

$$V^\mu(x+dx) \approx V^\mu(x) + \frac{\partial V^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu$$

また、平行移動したベクトルの成分$V^\mu_{parallel}(x+dx)$は、アフィン接続係数を使って書くことができます。前回解説した平行移動の定義から、

$$V^\mu_{parallel}(x+dx) – V^\mu(x) = – \Gamma^\mu_{\nu\lambda} V^\lambda dx^\nu$$

これを変形して、

$$V^\mu_{parallel}(x+dx) = V^\mu(x) – \Gamma^\mu_{\nu\lambda} V^\lambda dx^\nu$$

となります。この2つの式を最初の共変微分の定義に代入すると、

$$\frac{V^\mu(x) + \partial_\nu V^\mu dx^\nu – (V^\mu(x) – \Gamma^\mu_{\nu\lambda} V^\lambda dx^\nu)}{dx^\nu}$$

となり、整理すると以下の共変微分の定義式が得られます。

$$\nabla_\nu V^\mu = \partial_\nu V^\mu + \Gamma^\mu_{\nu\lambda} V^\lambda$$

この式は、「通常の微分（$\partial_\nu V^\mu$）」に、「基底ベクトルの変化を補正する項（$\Gamma^\mu_{\nu\lambda} V^\lambda$）」を加えることで、真の微分を抽出していることを示しています。この共変微分は、どのような座標系で計算しても同じ物理的意味を持つ結果（テンソル）を返します。これが、一般相対性原理を数学的に記述するための鍵となります。