対数の計算【復習】 - あつまれ！ゆい日記

数学Ⅱで学ぶ対数を振り返ろう（自身への備忘録）

まず、対数とは何でしょう？

簡単に言うと、対数とは「ある数を何乗したら、別の数になるか？」という「指数」を求めるための計算です。

$log$の記号について

対数の計算をする際に新たに出てくる$log$(ログと読みます)の記号

底（てい）が$a$,真数(しんすう)が$b$とする対数は以下のように記述できます。

$a$は$a>0$、$a≠1$を満たす実数、$b$を正の実数とすれば　$x=log_{a}b$ 　($x$イコールログ$a$$b$ と読みます)

こちらを意味訳をしてみると、
「底$a$を$x$乗した数が、真数$ｂ$になる」となります。
”乗”とは同じ数(文字)を何回かけあわせたか表すものです。

2乗なら2回、3乗なら3回、、、$x$乗なら$x$回かけているということになりますね。
（”乗”を更に言いかえた上の表現は、「底$a$を$x$回掛け合わせた数は、真数$ｂ$になる」といえます）

なので例えば、
$x＝log_{2}4$となる$x$を求める場合は、読み替えて
「底２を何乗すれば、真数４になる？（２を何回掛け合わせたら4になる？）」となります。
2は2回掛ける（つまり2乗）すれば、４になるので、$log_{2}4＝２$です。

他にも、$log₃9$なら２です。（⇒３を2回掛けると９）、$log₂16$なら４（⇒２を4回掛けると16）になるわけですね。

指数と対数の関係は、表裏一体です。この関係性を理解することが、対数マスターへの第一歩です。

指数：2³ = 8

（2を3乗すると8になる）

⇄

対数：log₂(8) = 3

（底の2を何乗すると8になるか？ → 3乗）

真数を「底の何乗か」書き換えるとより分かりやすいです。
$log_{2}4$＝$log_{2}$$２^{2}$　,　$log_{3}9$＝$log_{3}$$３^{2}$　,　$log_{2}16$＝$log_{2}２^{4}$このように書き換えると「何乗か？」の部分が浮き彫りになりますよね！

ここから
$x＝log_{a}b$
底と真数が等しい場合、つまりa=bの場合は１となります。
（$log_{2}２$だとすれば「2を何乗したら2になりますか？」と聞かれれば1乗と答えますよね）

ここで重要なルールがあります。真数（この例では「8」）は、必ず正の実数でなければなりません。

なぜなら、2を何乗しても、答えがマイナスになることはないからです。対数で扱う真数に負の数や0は登場しません。

例題

対数の計算に慣れるために、以下の問題を解いてみましょう。

問1：log₂(4) = ?

解答

答えは 2 です。なぜなら、底の2を2乗すると4になるからです。

問2：log₃(9) = ?

解答

答えは 2 です。なぜなら、底の3を2乗すると9になるからです。

問3：log₂(16) = ?

解答

答えは 4 です。なぜなら、底の2を4乗すると16になるからです。

問4：log₂(1/8) = ?

解答

答えは -3 です。なぜなら、底の2を-3乗すると1/8になるからです。

【例題の補足】

より複雑な計算問題も、指数のルールを思い出せば解くことができます。ここでは、分数やマイナスの指数を含む計算の考え方について補足します。

◆ log₂(1/2) = -1 の考え方

真数 1/2 は、2を-1乗したものです。

1/2 = 2⁻¹

つまり、「底の2を何乗すると 2⁻¹ になるか？」という問いになるので、答えは -1 です。

◆ log₂(1/√2) = -1/2 の考え方

こちらも同様に、真数 1/√2 を指数の形に直します。

平方根のルール：√2 は 2¹/² と表せます。
分数のルール：1/2¹/² は 2⁻¹/² と表せます。

これで「底の2を何乗すると 2⁻¹/² になるか？」という問いになるので、答えは -1/2 です。

（１）「３を何乗すれば$\frac{1}{9}$になるか」を考えます．

　　　　分数の場合はマイナス乗を使用するので、
　　　　$\frac{1}{9}＝\frac{1}{3^{2}}=３^{-2}$と書くことが出来ます．
　　　　(つまり３をマイナス2乗したら$\frac{1}{9}$！)

　　　したがって$log_{3}\frac{1}{9}＝-２$です

（２）「３を何乗すれば１になるか」を考えます．

　　　　ここで０乗の定義を確認しましょう．

「すべての底で$log_{a}1=0$」
これは決まり事ですから、例えば2の０乗は１ですし、10の0乗もまた１となります。

log₂(1) = 0 になるのはなぜ？

これは、指数の基本的なルールに戻って考えると簡単に理解できます。

「どんな数も0乗すると1になる」というルールを覚えていますか？

つまり、2⁰ = 1、10⁰ = 1、100⁰ = 1、という関係が成り立ちます。

このルールを対数に変換すると、「底を0乗すれば1になる」ということになり、log₂(1) = 0 が成り立つわけです。

　　　したがって真数が1になる場合はの答えは０になります．
　　　$log_{3}１＝０$

（３）「10を何乗すれば1000になるか」を考えます。

　　　　1000は10を3回掛けた数です。（10×10×10＝1000）

　　　　したがって$log_{10}1000＝３$です．

（４）「$\frac{1}{2}$を何乗すれば8になるか」を考えます。

　　　　分数の場合はマイナス乗を使用するので、
　　　　　　　　　$\frac{1}{2}＝２^{-1}$と書くことが出来ます。
　
　　　また８は２を3回掛けた数なので、８＝$２^{3}$です

　　　改めて、「$２^{-1}$は何乗すれば$２^{3}$になるか」を考えます．

　　　底にマイナスがついているため、マイナスをかけて3乗すると$2^{3}$となります。

　　　したがって$log_{\frac{1}{2}}8＝-３$です

分数やマイナス乗の対数計算

対数の計算では、分数やルート（平方根）も頻繁に登場します。これらも指数のルールを思い出せば難しくありません。

例： log₂ (1/2) の計算

ステップ1：真数を指数に直す
まず、真数「1/2」を「2の何乗か」という形に直します。分数はマイナスの指数で表すというルールがあります。

1/2 = 2⁻¹
ステップ2：対数の値を求める
これで、計算式は log₂(2⁻¹) となりました。「底の2を何乗すれば2⁻¹になるか？」と考えれば、答えは「-1」です。

この計算は、対数の公式 logₐ(Mᵖ) = p logₐ(M) を使うことでも解けます。つまり、log₂(2⁻¹) は -1 × log₂(2) となり、log₂(2) は1なので、答えは-1となります。