相対論ノート：Q&A #4 非線形な世界の足し算

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

今回は、特殊相対性理論の核心である「光速不変の原理」を、数学的な視点からさらに深掘りしてみたいと思います。

私たちが知っている単純な足し算が、光速の世界では通用しないという、不思議な「非線形な世界の足し算」について、詳しく見ていきましょう。

ちなみに導入のために、以前のQ&Aとほぼ同じ箇所がありますので、予めご了承ください。

Q1：非線形な世界の足し算って、どういうことですか？

私たちの日常的な感覚では、「$1+1=2$」という単純な足し算が成り立ちますよね。時速50kmの車から時速50kmのボールを投げれば、ボールの速さは時速100kmになります。しかし、光速の世界では、この常識は通用しません。（以前説明したとおりです）

光速で進む宇宙船から光を発射しても、光の速さは光速のままで、速さは増えません。この現象は、光の速さが特別な足し算ルール、すなわち非線形なルールに従っているからだと考えられています。

この非線形な足し算のルールは、速度の合成則として以下のように表されます。ここで、$v$は動いている物体の速度、$v’$はその物体から投げられた別の物体の速度、そして$c$は光速です。

$$V_{new}=\frac{v+v’}{1+\frac{vv’}{c^2}}$$

この式に、速度が10m/sと10m/sの場合を代入してみましょう。光速$c$をわかりやすさを考慮して100と仮定すると、

$$V_{new}=\frac{10+10}{1+\frac{10 \times 10}{100^2}} = \frac{20}{1+\frac{100}{10000}} = \frac{20}{1.01} \approx 19.8$$

と、日常的な足し算（20m/s）とほとんど変わらない結果になりますね。これが、私たちが日常生活でこの非線形性を意識しない理由です。

では、光速で進む物体から、光速で光を放った場合を考えてみましょう。この場合、$v=c$、$v’=c$となります。これを上記の非線形な足し算の式に代入すると、どうなるでしょうか？

$$c_{new}=\frac{c+c}{1+\frac{c \cdot c}{c^2}} = \frac{2c}{1+\frac{c^2}{c^2}} = \frac{2c}{1+1} = \frac{2c}{2} = c$$

この計算結果は、光速で進む物体から光速で光を放っても、その速さが光速のままであることを示しています。

つまり、「光速不変の原理」と完全に一致するのです。光速は宇宙における究極の速度であり、どんなに速い速度で移動しても、それ以上速くすることはできないという結論が、このシンプルな数式から導き出されるのは驚きですよね！

今回は、光速の不思議な振る舞いを「非線形な足し算」という概念で纏めました。

このシンプルな式が、光速不変の原理という私たちの直感に反する現象を、いかに美しく説明しているかを感じていただけたでしょうか？この非線形性が、時間や空間が相対的に変化するという、ローレンツ変換の背後にある重要な考え方です。

記事を書くときに、部分的に参照したので載せておきます。