相対論ノート#11：リーマン幾何学の基礎

あくまで個人的にまとめたノートなので、誤っている箇所があるかもしれません。参考にする際は内容の正当性について注意してください。もし誤っている箇所があればご指摘いただけたら嬉しいです。

前回は、一般相対性理論の基盤となる「等価原理」と「一般相対性原理」について解説しました。今回からは、これらの原理を数学的に記述するために必要なツール、「リーマン幾何学」の基礎を学んでいきます。

リーマン幾何学とは

リーマン幾何学は、あらゆる座標系と曲がった空間を扱う数学の分野です。一般相対性理論では、重力現象を時空の歪みとして扱うため、この数学が不可欠となります。最終的な目標は、「テンソル計算」や「アインシュタイン方程式」を自分で解けるようになることです。

私たちは、「線素（$ds$）」という概念を導入することで、空間の曲がりを数学的に表現します。線素は、微小に離れた2点間の距離の2乗を定義するものです。

例えば、平坦な空間ではピタゴラスの定理がそのまま適用できますが、球面のような曲がった空間では、この定理はそのままでは使えません。線素の式を見ることで、空間がどのように曲がっているかの情報を得ることができます。

$$ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$

この式に含まれる「計量（$g_{\mu\nu}$）」という係数が、空間の曲がりを表現する上で非常に重要な役割を果たします。

数式を簡潔に記述するためには、「アインシュタインの縮約規則」を使用します。これは、同じ添え字が上と下でペアになった場合、その添え字について和を取るという簡略化された表記法です。

$$A^\mu B_\mu = \sum_{\mu=0}^{3} A^\mu B_\mu$$

この規則は、複雑なテンソル計算を扱う上で非常に便利です。

リーマン幾何学では、直交座標系から極座標系への変換など、あらゆる座標系を考慮します。この座標変換の計算例として、3次元の平坦な空間の線素が、極座標系では以下の式で表されることが示されていました。

$$ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

次回のノートでは、これらの概念をさらに発展させ、スカラー、ベクトル、テンソルの定義とその変換則にツイてて纏めていきます。

記事を書くときに、部分的に参照したので載せておきます。