ニュートン力学の基本原理とエネルギーの概念について
こんにちは。今回は、私が個人的に勉強している「古典力学」について、最初の一歩として学んだことをまとめてみました。1回目は特に基本となる、ニュートンが提唱した「三つの法則」と、「エネルギー」という概念について触れます。
第1部：ニュートンが提唱した三つの法則
古典力学の土台となっているのが、アイザック・ニュートンが『プリンキピア』で述べた三つの法則です。これらは、物体の運動を理解するための基本的な考え方を示しています。一つずつ見ていきましょう。
第一法則：慣性の法則
第一法則は、物体の運動の状態を説明するものです。
簡単に言うと、「外から力が働かない物体は、静止しているなら静止し続け、運動しているなら等速直線運動を続ける」というものです。これは、私たちが日常で感じる摩擦や空気抵抗といった「外からの力」がない場合に成り立つ話で、とても理想的な状況を考えているんだな、と感じます。
この法則は、「慣性系」という考え方を導入する上で非常に重要です。慣性系とは、この第一法則が成り立つような座標系のことで、この系を基準に物体の運動を考えることが古典力学の出発点となるみたいです。
第二法則：運動方程式
さて、第一法則が「力が働かない場合」の話だったのに対し、第二法則は「力が働いた場合」の話です。これは、私たちが最もよく知っている「運動方程式」として知られています。
ここで、$F$は物体に働く力、$m$は物体の質量、$a$は物体の加速度です。加速度は、速度の時間微分であり、速度は位置の時間微分なので、位置$x$を使って書くと、次のようになるかと思います。
この式は、物体の運動がどう変化するかを数学的に記述している式です。例えば、ある瞬間に物体にどんな力が働いているかわかれば、その先の物体の位置や速度を予測できることになります。
第三法則：作用・反作用の法則
第三法則は、二つの物体が互いに力を及ぼし合うときの関係を述べています。
「一方の物体が他方の物体に与える力と、他方の物体が一方の物体に与える力は、大きさが等しく、向きが逆である」
というものです。
これは、例えば壁を押したとき、壁も同じ大きさの力で押し返してくる、といった日常的な例で説明されることが多いです。この法則は、複数の物体からなる系（孤立系）を考える際にとても重要になるようです。この法則のおかげで、系の全運動量が保存されることなどが導き出せます。
第2部：エネルギーの概念
ニュートンの三法則を学ぶと、次に「エネルギー」という概念が自然に導かれます。
エネルギーは、力学だけでなく、熱力学や電磁気学など、物理学の様々な分野で非常に重要な役割を果たしています。ここでは、特に「運動エネルギー」と「ポテンシャルエネルギー」について、どのように導出されるのか、私なりにまとめてみました。
運動エネルギーの導出
運動エネルギーは、その名の通り「運動している物体が持つエネルギー」のことです。これを運動方程式から導くプロセスが、とてもエレガントだと思います。
出発点は、先ほど紹介した運動方程式です。
この式の両辺に、速度$v$を内積として掛けてみます。
右辺について考えます。微分演算子の性質を考えると、次の関係が成り立ちます。
これは、$v^2 = v \cdot v$であることから、積の微分法則を使って導き出せます。
これを使って先ほどの式を書き直すと、次のようになります。
この式の両辺を時間で積分してみます。ある時刻$t_1$から$t_2$までの区間で積分すると、
右辺は、微分と積分が打ち消し合うので、積分区間の端の値を使って簡単に計算できます。
$ = \left[\frac{1}{2}mv^2\right]_{t_1}^{t_2}$
$= \left(\frac{1}{2}mv(t_2)^2\right) – \left(\frac{1}{2}mv(t_1)^2\right)$
この結果から、$\frac{1}{2}mv^2$という量が、時間とともに変化する様子を表していることがわかります。そして、この量を「運動エネルギー」と呼びます。
この運動エネルギーの変化が、左辺の$\int F \cdot v \,dt$、つまり力が行った仕事に等しい、という「運動エネルギーの定理」が導出されるわけです。
ポテンシャルエネルギーと力学的エネルギー保存則
次に、ポテンシャルエネルギーについてです。ポテンシャルエネルギーは、物体の「位置」によって決まるエネルギーで、位置エネルギーとも呼ばれます。この概念を導入するためには、ある特殊な条件を満たす力（保存力）を考える必要があります。
先ほどの運動エネルギーの導出過程で出てきた、力が行う仕事の積分項$\int F \cdot v \,dt$に注目します。
位置$r$を使って書き直すと、速度$v$は$\frac{dr}{dt}$なので、$F \cdot v \,dt = F \cdot \frac{dr}{dt} dt = F \cdot dr$となります。
したがって、仕事の積分は$\int F \cdot dr$と書けます。
ここで、「力が、ある関数の勾配にマイナスをつけたものに等しい」という条件を満たす場合を考えます。
勾配とは、ある関数がどの方向にどれくらいの速さで変化するか、ということを表すベクトルのことです。ちょうど、山の地形図を思い浮かべると分かりやすいかもしれません。勾配は、その地点から最も急な坂を上る向きと、その傾き（上る速さ）を示している、と考えると良さそうです。
デカルト座標$（）$では、関数の勾配は偏微分を使い次のように書けます。
この$\nabla$（ナブラ）という記号のスカラー積が、勾配を意味しています。
この$U$を「ポテンシャルエネルギー」と呼び、この条件が成り立つ力は、「保存力」と呼ばれます。重力やクーロン力などがこれに該当します。
なぜこの条件が重要なのでしょうか？
それは、もし$F = -\nabla U$という関係が成り立てば、仕事の積分$\int F \cdot dr$が、始点と終点の位置$r_1$と$r_2$だけで決まり、途中の経路に依存しなくなるからです。これは、数学的に「力のローテーション（$rot$）が0」という条件（$\nabla \times F = 0$）に対応します。
実際に計算してみると、次のようになります。
\int_{r_1}^{r_2} F \cdot dr &= \int_{r_1}^{r_2} (-\nabla U) \cdot dr \\
&= \int_{r_1}^{r_2} -\left(\frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy + \frac{\partial U}{\partial z} dz\right) \\
&= \int_{r_1}^{r_2} -dU \\
&= -[U]_{r_1}^{r_2} \\
&= U(r_1) – U(r_2)
\end{aligned}$
この結果を、運動エネルギーの定理の式に代入してみます。
なので、
という関係が得られます。これを変形してみると、
となります。この式が示しているのは、ある時刻$t_1$での運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和が、別の時刻$t_2$での和に等しい、ということです。つまり、この和が常に一定に保たれる、ということになります。
この和を「力学的エネルギー」と呼び、この関係を「力学的エネルギー保存則」と呼びます。
この法則は、保存力のみが働いている系で成り立ちます。摩擦力や空気抵抗といった力は保存力ではないので、そのような力が働く場合は力学的エネルギーは保存されない、ということになります。
まとめ
今回は、古典力学の基本中の基本である、ニュートンの三つの法則と、そこから派生するエネルギーの概念について、学んだことをまとめてみました。
運動方程式という一つの式から、運動エネルギーやポテンシャルエネルギー、そして力学的エネルギー保存則といった、とても重要な概念が導き出されるのは、面白いですね。
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。
参考文献
記事を書くときに、部分的に参照したので載せておきます。
古典力学ノート シリーズ一覧
- 古典力学ノート #1：ニュートン力学の基本原理とエネルギーの概念について
- 古典力学ノート #2：運動量と力積、そして運動量保存則について
- 古典力学ノート #3：回転の勢いを表す「角運動量」について
- 古典力学ノート #4：見かけの力「慣性力」について
- 古典力学ノート #5：回転系に現れる「遠心力」と「コリオリ力」
- 古典力学ノート #6：理想の物体「剛体」の運動方程式
- 古典力学ノート #7：回転のしにくさを表す「慣性モーメント」
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