数学Ⅱで学ぶ対数を振り返ろう（自身への備忘録）
$log$の記号について
対数の計算をする際に新たに出てくる$log$(ログと読みます)の記号
底（てい）が$a$,真数(しんすう)が$b$とする対数は以下のように記述できます。
$a$は$a>0$、$a≠1$を満たす実数、$b$を正の実数とすれば $x=log_{a}b$ ($x$イコールログ$a$$b$ と読みます)
こちらを意味訳をしてみると、
「底$a$を$x$乗した数が、真数$ｂ$になる」となります。
”乗”とは同じ数(文字)を何回かけあわせたか表すものです。
2乗なら2回、3乗なら3回、、、$x$乗なら$x$回かけているということになりますね。
（”乗”を更に言いかえた上の表現は、「底$a$を$x$回掛け合わせた数は、真数$ｂ$になる」といえます）
なので例えば、
$x＝log_{2}4$となる$x$を求める場合は、読み替えて
「底２を何乗すれば、真数４になる？（２を何回掛け合わせたら4になる？）」となります。
2は2回掛ける（つまり2乗）すれば、４になるので、$log_{2}4＝２$です。
他にも、$log₃9$なら２です。（⇒３を2回掛けると９）、$log₂16$なら４（⇒２を4回掛けると16）になるわけですね。
真数を「底の何乗か」書き換えるとより分かりやすいです。
$log_{2}4$＝$log_{2}$$２^{2}$ , $log_{3}9$＝$log_{3}$$３^{2}$ , $log_{2}16$＝$log_{2}２^{4}$このように書き換えると「何乗か？」の部分が浮き彫りになりますよね！
ここから
$x＝log_{a}b$
底と真数が等しい場合、つまりa=bの場合は１となります。
（$log_{2}２$だとすれば「2を何乗したら2になりますか？」と聞かれれば1乗と答えますよね）
【練習問題】
次の対数の値を求めよ．
（１）$log_{3}\frac{1}{9}$
（２）$log_{3}１$
（３）$log_{10}1000$
（４）$log_{\frac{1}{2}}8$
【解答】
（１）「３を何乗すれば$\frac{1}{9}$になるか」を考えます．
分数の場合はマイナス乗を使用するので、
$\frac{1}{9}＝\frac{1}{3^{2}}=３^{-2}$と書くことが出来ます．
(つまり３をマイナス2乗したら$\frac{1}{9}$！)
したがって$log_{3}\frac{1}{9}＝-２$です
（２）「３を何乗すれば１になるか」を考えます．
ここで０乗の定義を確認しましょう．
「すべての底で$log_{a}1=0$」
これは決まり事ですから、例えば2の０乗は１ですし、10の0乗もまた１となります。
したがって真数が1になる場合はの答えは０になります．
$log_{3}１＝０$
（３）「10を何乗すれば1000になるか」を考えます。
1000は10を3回掛けた数です。（10×10×10＝1000）
したがって$log_{10}1000＝３$です．
（４）「$\frac{1}{2}$を何乗すれば8になるか」を考えます。
分数の場合はマイナス乗を使用するので、
$\frac{1}{2}＝２^{-1}$と書くことが出来ます。
また８は２を3回掛けた数なので、８＝$２^{3}$です
改めて、「$２^{-1}$は何乗すれば$２^{3}$になるか」を考えます．
底にマイナスがついているため、マイナスをかけて3乗すると$2^{3}$となります。
したがって$log_{\frac{1}{2}}8＝-３$です
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