フーリエ解析②（三角関数の復習）

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本講義のポイント

今回は、フーリエ解析を学ぶ準備として基礎的な数学的道具を復習します。

• 三角関数の基本: $\sin x, \cos x$ のグラフとその性質（周期 $2\pi$）の確認 。
• グラフの平行移動: 変数を置換することで、上下左右へ移動させる手法を一般化 。
• 奇関数と偶関数: 積分の計算を簡略化するための対称性（点対称・線対称）の概念 。
• 三角関数の直交性: フーリエ級数展開の根幹となる積分の性質の導出。

1. 三角関数の基本性質

フーリエ解析で主に使用するのは $\sin x$ と $\cos x$ です 。

1.1 グラフの特徴

• $\sin x$: 原点を通る。$2\pi$ ごとに繰り返す周期関数。
• $\cos x$: $x=0$ で $y=1$ をとる。同様に周期 $2\pi$。

1.2 グラフの平行移動（一般論）

任意のグラフ $y=f(x)$ は、以下の操作で平行移動が可能です。

• $x \rightarrow x-a$ に交換: $x$ 軸正方向に $a$ だけ移動。
• $y \rightarrow y-b$ に交換: $y$ 軸正方向に $b$ だけ移動。

例として、放物線 $y=x^2$ を $(p, q)$ だけ平行移動すると $y=(x-p)^2+q$ となります。これは円の式などにも共通する普遍的な性質です。

2. 奇関数と偶関数

計算の効率化に不可欠な概念です。

2.1 定義と例

• 奇関数 (Odd function): $f(-x)=-f(x)$ を満たす。原点に関して対称（点対称）。例: $\sin x, x, x^3$。
• 偶関数 (Even function): $f(-x)=f(x)$ を満たす。$y$ 軸に関して対称（線対称）。例: $\cos x, 1, x^2$ 。

2.2 積の性質

• (奇関数) $\times$ (奇関数) $=$ (偶関数)
• (奇関数) $\times$ (偶関数) $=$ (奇関数)
• (偶関数) $\times$ (偶関数) $=$ (偶関数)

あくまでイメージですが、奇関数 を－（マイナス）で 偶関数を＋（プラス）と対応させることで覚えやすくなります。

(－) $\times$ (－) $=$ (＋) 、(－) $\times$ (＋) $=$ (－) 、(＋) $\times$ (＋) $=$ (＋)と対応関係が似ています。

2.3 対称区間における積分の性質

区間 $[-a, a]$ で積分する場合、以下の性質が成り立ちます。

• $f(x)$ が奇関数のとき: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$（グラフを見れば同じ幅同士なら免責部分が相殺されます）
• $f(x)$ が偶関数のとき: $\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ （グラフを見れば、同じ幅同士の場合に対称関係になっているため2倍となっていることが分かります）

3. 三角関数の積分公式（直交性）

以下の5つの公式は、フーリエ級数展開における係数算出に直結する極めて重要なものです（$m, n$ は自然数）。

3.1 公式4の導出例（積和の公式を利用）

積和の公式 $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}$ を用います 。

$n \ne m$ のとき、両項とも公式2により $0$ となります 。$n = m$ のとき、後半の項は $\cos 0 = 1$ となるため、結果は $\pi$ と導かれます 。

4. 締め

今回確認した「三角関数の直交性」は、複雑な波から特定の周波数成分の「強さ」を取り出す際のフィルターのような役割を果たします。次回からはいよいよフーリエ級数展開の具体的な構成に入ります。