【要請】 ・真数条件に従う任意の対数同士は比例関係にあるとします。

こちらの要請については、
対数$y=\log_{a}x$が「$a$という値を、$y$乗すれば $x$となる」という事から、

「\(a,x,y\)を適切に選べば様々な比例関係も表せそう」
だという直感からくるものですし、実際に自然な要請と言えるでしょう。

（※ちなみに、”適切に選べば”というのは例えば「真数条件に注意をする」など制限の元という意味です。）

「要請」から、底の変換について考えたいので、底の異なる2組の対数の比例関係を考えてみましょう。
$\log_{a}(x)=\log_{b}(x)$…(1)
$\log_{a}(y)=\log_{b}(y)$…(2)
（※底について考えたいので、どちらの式も左右で真数は揃えています。）

(2)式は、適切な値を考えれば、逆数でも関係が成り立つので
$\frac{1}{\log_{a}(y)}=\frac{1}{\log_{b}(y)}$…(3)
（ただし、今回に限り$\log_{a}(y)$および$\log_{b}(y)$は０にはならないと設定します。）

ここで、両辺に同じ数をかけても式は成り立つことから、(1)式の両辺に
$\frac{1}{\log_{a}(y)}$をかけます。
$\log_{a}(x)×\frac{1}{\log_{a}(y)}=\log_{b}(x)×\frac{1}{\log_{a}(y)}$
(3)式から
$\log_{a}(x)×\frac{1}{\log_{a}(y)}=\log_{b}(x)×\frac{1}{\log_{b}(y)}$
となります。

改めて上記の式を整えて書けば、
$\frac{\log_{a}(x)}{\log_{a}(y)}=\frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(y)}$…(4)
となります。

ここで(4)式で$y＝a$の場合を考えてみましょう。
つまり、「$\log_{a}y=\log_{a}a$と$\log_{a}y=\log_{b}a$を考える」ということです。

$y=a$とすれば、
$\frac{\log_{a}(x)}{\log_{a}(a)}=\frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(a)}$
となります。

底と真数が同じ値の場合、つまり$\log_{a}a$は$1$なので、
$\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$…■
■式はまさしく、底の変換式です。